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教师风采

巧用空间向量解立体几何题

来源: 作者:澧县六中 刘 学 发布时间:2017-01-10 浏览次数: 【字体:

空间角与距离是立体几何的重点内容,也是高考的热点,这类习题一般有两种思路:一是根据空间元素的位置关系按“一作二证三计算”的几何法则进行,而高考对这三步的互相渗透,互相结合有明确的要求,这三个步骤缺一不可,而且要表述准确,清晰,简明,稍有不当就不完整;二是利用空间向量进行计算。如果利用空间向量解题就会使问题变得思路明确,运算简单,以达到事半功倍的效果。在第二轮复习中应加强使用向量解题,以达到综合运用知识的目的。

一、巧用空间向量的数量积求证垂直或求线线角,无须找角

理论依据:设 分别是直线L ,L 的方向向量,L ,L 两直线所成的角为 ,则cos = =

例1:(2002,北京,春招) 如图:在三棱锥S-ABC 中,

∠SAB=∠SAC=∠ACB=90,AC=2,BC= ,SB=

(1)证明:SC⊥ BC

(2) 求异面直线SC与AB所成的角的大小

证:∵SA ⊥AB ,SA ⊥ AC

∴ SA⊥面SAB ∴ SA ⊥BC

∵ ˙ =( + )˙ = ˙ + ˙ =0

∴ ⊥ 即SC ⊥ BC

RT△AΒC中:│AB│= ;在RT△SAB中:AS=2 在RT△SAC中:SC=4∴ ˙ =( + )˙( + )

= ˙ + ˙ + ˙ + ˙ =0+0+4+0=4

又∵∣ ∣˙∣ ∣=4

∴cosθ= = =

∴异面直线SC与AB所成的角为arcos

点评:利用空间向量解题的基本方法:把线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未知向量,再运算或证明。

二 、巧用空间向量避免作二面角的平面角

理论依据:设PA,QB分别是二面角 ─L─ 的两个半平面内垂直于棱的向量,则这个二面角的平面角的大小是 =arccos (或它的补角)(但取向量时一定要注意方向)

例2:(2004,全国,文理)已知四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为边长为2的正三角形,底面ABCD为菱形,PB⊥AD,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角为120°,求面PAB与面CPB所成的二面角的大小。

解:如图建系:O为坐标原点,x轴

平行于DA,则P(0,0, ),B(0, ,0),PB

的中点G(0, , )。连AG,则A(1, ,0);

C(-2, ,0)

∴ =(1,- ,- ), =(0, ,- ) =(-2,0,0)

∴ ˙ =- +(- ) (- )=0

∴ ˙ =0 ∴ ⊥ , ⊥

∴ 与 的夹角 为所求二面角的平面角

∴cos = = =-

∴所求二面角的大小为 -arcos

点评:图形中如果有(或能创建)三条两两垂直的线段, 可以考虑使用向量点的坐标求解。步骤:(1)建系,写出相关点的坐标,(2)将相应线段转化为向量的坐标形式(3)利用相关公式运算,得出结论。

三、巧用方向向量在平面的法向量上的射影长求点到面的距离,避免作点到面的距离

理论依据:设 是平面 的法向量,AB是 的斜线,B ,则点A到平面 的距离d=

例3:(2003,天津,理)如图,在直三棱柱ABC-A B C 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA =2,D,E分别是CC ,A B的中点,点E在面ABD的射影是△ ABD的重心G。

求A B与面ABD所成角的大小求点A 到面AED的距离解:(1)连BG,则BG是BE在面ABD的射影,

即∠A BG是A B与面ABD所成的角。

如图建系c-xyz,设CA=2a,(a 则:

A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)

A (2a,0,2),E(a,a,1),G( , , )

=( , , ), =(0,-2a,1)

∴ ˙ =- a + =0 ∴a=1

=(2,-2,2), =( ,- , )

∴ cos∠A BG= = = 。

∴ A B与面ABD所成角的角为arccos

(2)面ADE的法向量为 =(x,y,1), =(-2,0,1)

=(1,1,0), =(0,0,2)∴ =0, =0

得1-2x=0 且 x+y=0 ∴x= y=-

∴ =( ,- ,1)∴h=

第二轮复习的重点在于归纳,整理,强化知识,使知识系统化,解题模式化,注重知识的综合运用,这样解题才能得心应手。以上三例,都是相关的高考题,着重考查数量积的概念及利用向量求线段的夹角,线段的长度,证明线线垂直,点到面的距离等问题,还有很多习题都是可以既用几何又可用向量求解,在平时的学习中加强用高要求解题以发现知识上的弱点,增强空间想象能力和几何逻辑思维能力,增强应试能,对建立良好的知识网络是大有益处的。

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