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教师风采

解读函数的最值
【知识梳理】

来源: 作者:肖志国 发布时间:2017-04-24 浏览次数: 【字体:

一、最值的概念

1、一般地,如果在区间【】上的函数的图象是一条_______的曲线,那么它必有最大值和最小值。

此性质包括两个条件:

(1)给定函数的区间是_______;

(2)函数图象在区间上的每一点必须_______,函数的最值是比较整个________的函数值得出的,函数的极值是比较________的函数得到的。

2、一般地,求函数y=在[]上的最大值与最小值的步骤如下:

(1)求函数在()内的_______;

(2)将函数的各级值与_______比较,其中_______的一个是最大值,_______的一个是最小值。

二、函数最值概念的几点说明

一般地,在闭区间[]上连续的函数在[]上必有最大值和最小值,此性质可以从下两个方面加以说明;

1、给定函数的区间必须是闭区间,在天区间上虽连续但不能保证有最大值或最小值。

2、在闭区间的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点亦不能保证有最大值和最小值。

三、函数极值与函数最值的区别与联系

1、函数极值表示函数在某一点附近的取值情况,是在局部上对函数值比较;函数的最值是表示函数在整个区间上的取值情况,是对整个区间上的函数的比较。

2、连续函数在一个闭区上的最大值或最小值只能各有一个(常数函数除外),而极大值或极小值可能多于一个,也可能没有。

3、函数的极值不一定是最值,需要将极值和区间端点的函数进行比较,或者考查函数在区间上的单调性,但若连续函数在区间()内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值。

四、求可导函数在【】最值的步骤:

(1)求函数在区间()内的极值;

(2)求在区间端点的值,

(3)将函数的各级值与,比较,其中最大一个为最大值,最小的一个为最小值。

一般地,比较大小时往往用列表法表示。

【典例在线】

例1(2016年济南梯级考试)函数= ,的最大值为   (   )

A.4e-1           B.1      C.e2        D.3e2

分析:本题考查最值问题,所以先想到导数法求最值,先对原函数求导,得到’ =,再令’ =0求出根,判断根左右两边导函数的符号,求出函数的极值及端点值,在其中选出最大值。

解:’=,令’=0,解得令=或= 0,当’>0时,<或>0;当’ <0时,<<0,所以函数=在=处取得极大值且=,又=0,=,所以函数的最大值为,故选C。

【点评】掌握求最值的一般步骤,有利于快速解题。

例2已知为正实数,函数=在上的最大值为4,则在上的最小值为                  (   )

A.       B.     C.     D.

分析:先求导函数’ ,再分别判断函数在区间和上的单调性,从而求出最大值(含的式子),最后将整体代入即得结果。

解:’=,因为为正实数,所以当时,0, ,所以’>0,即在上是增函数,所以最大且为a+b+2=4①;

又当-1时,0,,所以’>0,即在上是增函数,所以最小且为②,

将①代入②得=,故选A.

【点评】本题运用导数证明了函数的单调性,求出最大值和最小值,这是函数最值的一个重要方法—导数法,有时也可根据同一区间上增函数加增函数还是增函数,减函数加减函数这一性质。本题属于基础题。

练习  1、=在区间上的最大值是_________。

2、已知函数=的最小值为1,则的最大值为(  )

A、5          B、22       C、21      D、2

导数及其应用一直是高考的重点,特别是曲线的切线问题,求函数的单调区间、函数的极值、最值问题等,已经成为高考命题的热点,另外导数知识还常常与不等式、解析几何、平面向量等知识进行交汇命题,在高考中占有非常重要的地位。

答案: 填空

一、1.连续不断;闭区间;连续不间断;定义域;极值点附近;

2、极值;端点处的函数值;最大;最小

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